Найти производную от tg^4(x)

Чтобы найти производную функции $\tan^4(x)$, можно использовать правило дифференцирования сложных функций, называемое правилом цепочки.

Функция $\tan^4(x)$ является степенной функцией от $\tan(x)$. Применим шаги:

1. Пусть $u = \tan(x)$. Тогда $\tan^4(x) = u^4$.

2. Для дифференцирования функции $u^4$, используем стандартную формулу производной для степенной функции:

   $$\frac{d}{dx}(u^4) = 4u^3 \cdot \frac{du}{dx}.$$

3. Теперь нужно найти производную $\frac{du}{dx}$, где $u = \tan(x)$. Производная от $\tan(x)$ известна и равна $\sec^2(x)$. То есть:

   $$\frac{du}{dx} = \sec^2(x).$$

4. Подставляем это в предыдущую формулу:

   $$\frac{d}{dx}(\tan^4(x)) = 4 \cdot \tan^3(x) \cdot \sec^2(x).$$

Итак, производная от $\tan^4(x)$ равна: