(X^2-49)^2+(x^2+4x-21)^2=0

Уравнение, которое дано в вопросе:

Задача заключается в нахождении значений $x$, которые удовлетворяют этому уравнению.

Разбор уравнения:

Мы видим, что сумма двух квадратов равна нулю. Напомним, что квадрат любого числа всегда неотрицателен, то есть:

Сумма двух неотрицательных чисел может быть равна нулю только в том случае, если оба этих числа равны нулю. То есть, для того чтобы выражение:

было истинным, должно выполняться следующее:

Теперь решим каждое из этих уравнений по очереди.

1. Решим уравнение $(X^2 - 49)^2 = 0$:

   Из того, что квадрат равен нулю, получаем:

   $$X^2 - 49 = 0$$

   Решим это линейное уравнение:

   $$X^2 = 49$$ $$X = \pm 7$$

2. Решим уравнение $(x^2 + 4x - 21)^2 = 0$:

   Аналогично, из того, что квадрат равен нулю, получаем:

   $$x^2 + 4x - 21 = 0$$

   Это квадратное уравнение. Решим его с помощью формулы дискриминанта:

   Дискриминант:

   $$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$$

   Корни уравнения по формуле:

   $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 10}{2}$$

   Получаем два корня:

   $$x = \frac{-4 + 10}{2} = 3 \quad \text{или} \quad x = \frac{-4 - 10}{2} = -7$$

Ответ:

Таким образом, у уравнения есть два возможных значения для $X$ и два возможных значения для $x$: