Докажите, что четырёхугольник MNPQ является параллелограммом, и найдите его диагонали, если M (1;1), N (6;1), P(7;4), Q(2;4).

Проверю параллельность противоположных сторон по координатам.

Точки: $M(1,1),\ N(6,1),\ P(7,4),\ Q(2,4)$.

Векторы:

• $\vec{MN}=(6-1,\ 1-1)=(5,0)$,

• $\vec{PQ}=(2-7,\ 4-4)=(-5,0)$ — параллельны и равны по модулю.

И ещё:

• $\vec{NP}=(7-6,\ 4-1)=(1,3)$,

• $\vec{MQ}=(2-1,\ 4-1)=(1,3)$ — совпадают.

Пара противоположных сторон попарно параллельна и равна, значит $MNPQ$ — параллелограмм.

Ещё одно подтверждение: середины диагоналей совпадают.
Середина $MP$: $\left(\frac{1+7}{2},\frac{1+4}{2}\right)=(4,\ 2{,}5)$.
Середина $NQ$: $\left(\frac{6+2}{2},\frac{1+4}{2}\right)=(4,\ 2{,}5)$.

Теперь диагонали (отрезки $MP$ и $NQ$).

1. Уравнение $MP$ через $M(1,1)$ и $P(7,4)$:
   угловой коэффициент $k=\frac{4-1}{7-1}=\frac{3}{6}=\frac12$.
   $y-1=\frac12(x-1)\ \Rightarrow\ 2y=x+1\ \Rightarrow\ y=\frac{x+1}{2}.$

Длина $MP$:
$|\vec{MP}|=\sqrt{(7-1)^2+(4-1)^2}=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}.$

2. Уравнение $NQ$ через $N(6,1)$ и $Q(2,4)$:
   $k=\frac{4-1}{2-6}=\frac{3}{-4}=-\frac34$.
   $y-1=-\frac34(x-6)\ \Rightarrow\ 4y-4=-3x+18\ \Rightarrow\ 3x+4y=22.$

Длина $NQ$:
$|\vec{NQ}|=\sqrt{(2-6)^2+(4-1)^2}=\sqrt{(-4)^2+3^2}=\sqrt{25}=5.$