1. Даны точки A(1;-2), B(2;4), C(-1;4), D(1;16). 1) Разложите вектор AB по координатным векторам i, j. 2) Докажите, что AB || CD. 3) Напишите уравнение прямой AD. 2. Треугольник ABC задан координатами своих вершин: A(-4;1), B(0;1), C(-2;4). 1) Докажите, что ∠A = ∠B. 2) Найдите длину высоты CD треугольника ABC. 3. Сколько общих точек имеют линии, заданные уравнениями (x-2)² + (y+1)² = 1 и y = -2? 4. Даны векторы a{-4;3}, b{1;-4}, c{6;2}. Разложите вектор c по векторам a и b.

Задача 1

1. Разложите вектор AB по координатным векторам i, j.

Для начала находим координаты вектора AB, который направлен от точки A(1; -2) к точке B(2; 4). Координаты вектора AB вычисляются как разница координат соответствующих точек:

$\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (2 - 1, 4 - (-2)) = (1, 6)$

Вектор $\vec{AB}$ можно разложить по координатным векторам $\vec{i} = (1, 0)$ и $\vec{j} = (0, 1)$. Для этого используем формулу разложения вектора:

Таким образом, вектор $\vec{AB}$ разложен по координатным векторам как:

2. Докажите, что AB || CD.

Чтобы доказать, что векторы AB и CD коллинеарны (то есть параллельны), нужно проверить, что один из них является скалярным произведением другого. Найдем координаты вектора $\vec{CD}$.

Точки C(-1; 4) и D(1; 16), так что координаты вектора CD:

Теперь, чтобы векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ были параллельны, должно выполняться следующее условие:

Вектор $\vec{AB} = (1, 6)$ и $\vec{CD} = (2, 12)$. Проверяем:

Так как эти пропорции равны, то векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ действительно параллельны, то есть $AB \parallel CD$.

3. Напишите уравнение прямой AD.

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки A(1; -2) и D(1; 16), определим её наклон. Наклон прямой $k$ вычисляется по формуле: