Найдите два положительных числа, сумма которых равна 1, а произведение наибольшее.

Ответы на вопрос

Отвечает Бобриков Даниил.

Пусть два положительных числа — это $x$ и $y$ .

По условию:

x + y = 1,\quad x > 0,\ y > 0.

Нужно максимизировать произведение:

P = x \cdot y.

Из уравнения $x + y = 1$ выразим, например, $y$ через $x$ :

y = 1 - x.

Тогда произведение:

P(x) = x(1 - x) = x - x^2.

Теперь задача сводится к поиску максимума функции

P(x) = x - x^2 \quad \text{на интервале } (0; 1).

Найдём производную:

P'(x) = 1 - 2x.

Приравниваем к нулю, чтобы найти критическую точку:

1 - 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2}.

Тогда

y = 1 - x = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.

Проверим, что это максимум. Вторая производная:

P''(x) = -2 < 0,

значит, в точке $x = \frac{1}{2}$ функция имеет максимум.

Следовательно, при $x = \frac{1}{2}$ и $y = \frac{1}{2}$ произведение максимальное:

P_{\max} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}.

Можно рассмотреть так. Запишем числа в виде:

x = \frac{1}{2} + t,\quad y = \frac{1}{2} - t,

потому что их сумма должна быть 1:

x + y = \left(\frac{1}{2} + t\right) + \left(\frac{1}{2} - t\right) = 1.

Тогда произведение:

P = xy = \left(\frac{1}{2} + t\right)\left(\frac{1}{2} - t\right) = \frac{1}{4} - t^2.

Заметим, что $t^2 \ge 0$ , значит:

P = \frac{1}{4} - t^2 \le \frac{1}{4},

и равенство достигается только при $t = 0$ .

А $t = 0$ означает:

x = \frac{1}{2}, \quad y = \frac{1}{2}.

То есть, как только числа «отдаляются» от $1/2$ (одно увеличивается, другое уменьшается), произведение уменьшается.

Два положительных числа, сумма которых равна 1 и произведение наибольшее, — это

\boxed{\frac{1}{2} \text{ и } \frac{1}{2}}.

Последние заданные вопросы в категории Математика

Ответы на вопрос