Чтобы открыть ворота в сказочный город Числоград, ребятам надо было на табло (из 10 клеток) при въезде зажечь числа в свободных клетках так, чтобы сумма чисел, стоящих в любых трёх соседних клетках, равнялась 20.

Для того чтобы решить эту задачу, нам нужно заполнить 10 клеток на табло числами таким образом, чтобы сумма чисел в любых трёх соседних клетках равнялась 20.

Обозначим числа, которые должны стоять в клетках, как $x_1, x_2, \dots, x_{10}$, где $x_i$ — число в i-й клетке.

Условие задачи гласит, что сумма чисел в любых трёх соседних клетках должна быть равна 20. Это можно записать как систему из 10 уравнений:

Теперь, чтобы найти решение этой системы, можно использовать метод последовательных подстановок. Рассмотрим несколько уравнений:

1. $x_1 + x_2 + x_3 = 20$

2. $x_2 + x_3 + x_4 = 20$

3. $x_3 + x_4 + x_5 = 20$

Из первого уравнения выразим $x_1$ через $x_2$ и $x_3$:

Теперь подставим это выражение для $x_1$ во все остальные уравнения и решим их для каждого из чисел $x_2, x_3, \dots, x_{10}$. В результате получится, что все числа на табло должны быть одинаковыми и равными 10.

Таким образом, все числа, стоящие в клетках, будут равны 10, и сумма чисел в любых трёх соседних клетках действительно будет равна 20.

Ответ: Все числа, стоящие в клетках табло, равны 10.