Периметр равнобедренного треугольника равен 196 см, а основание — 96 см. Найдите площадь треугольника.

Чтобы найти площадь равнобедренного треугольника, нужно сначала найти его высоту. Для этого используем информацию о периметре и основании треугольника.

1. Обозначения:

   • Пусть основание треугольника $b = 96$ см.

   • Периметр треугольника $P = 196$ см.

   • Длины боковых сторон равны, пусть их длина $a$.

2. Нахождение длины боковой стороны:
   Периметр треугольника равен сумме всех его сторон, то есть:

   $$P = 2a + b.$$

   Подставляем известные значения:

   $$196 = 2a + 96.$$

   Решаем относительно $a$:

   $$2a = 196 - 96 = 100,$$ $$a = \frac{100}{2} = 50 \text{ см}.$$

   Таким образом, длина боковой стороны $a = 50$ см.

3. Нахождение высоты:
   Для нахождения высоты можно воспользоваться теоремой Пифагора. В равнобедренном треугольнике, проведя высоту, мы делим основание пополам, и получаем два прямоугольных треугольника. Одним из катетов будет половина основания, а другим — высота, которую нужно найти.

   Половина основания:

   $$\frac{b}{2} = \frac{96}{2} = 48 \text{ см}.$$

   Применяем теорему Пифагора для одного из прямоугольных треугольников:

   $$a^2 = \left(\frac{b}{2}\right)^2 + h^2.$$

   Подставляем известные значения:

   $$50^2 = 48^2 + h^2,$$ $$2500 = 2304 + h^2,$$ $$h^2 = 2500 - 2304 = 196,$$ $$h = \sqrt{196} = 14 \text{ см}.$$

   Таким образом, высота треугольника $h = 14$ см.

4. Нахождение площади:
   Площадь треугольника можно найти по формуле:

   $$S = \frac{1}{2} \times b \times h.$$

   Подставляем известные значения:

   $$S = \frac{1}{2} \times 96 \times 14 = 48 \times 14 = 672 \text{ см}^2.$$

Ответ: площадь треугольника равна 672 см².