В классе 17 учеников. Все занимаются спортом: плаванием, бегом или волейболом. Восемь ребят занимаются плаванием, девять — бегом, десять — волейболом. Сколько учеников занимаются ровно двумя видами спорта, если двое занимаются всеми тремя видами спорта?

Обозначим множества:

• $A$ — занимаются плаванием, $|A|=8$

• $B$ — занимаются бегом, $|B|=9$

• $C$ — занимаются волейболом, $|C|=10$

Всего учеников $17$, то есть $|A\cup B\cup C|=17$.

Пусть:

• $t$ — число тех, кто занимается всеми тремя видами спорта. По условию $t=2$.

• $x$ — число тех, кто занимается ровно двумя видами спорта (это то, что нужно найти).

• $y$ — число тех, кто занимается ровно одним видом спорта.

Тогда по числу учеников:

Подставляем $t=2$:

Теперь посчитаем “количество занятий спортом” суммарно. Каждый пловец даёт 1 занятие, каждый бегун — 1, каждый волейболист — 1. Это сумма мощностей:

С другой стороны:

• те, кто занимается ровно одним видом, дают $1\cdot y$,

• ровно двумя — дают $2\cdot x$,

• всеми тремя — дают $3\cdot t$.

Значит:

Подставляем $t=2$:

Теперь вычтем из уравнения $y + 2x = 21$ уравнение $y + x = 15$:

Ответ: 6 учеников занимаются ровно двумя видами спорта.