Три числа дают в сумме 18 и образуют арифметическую прогрессию. Если у ним прибавить соответственно 1,3 и 17, то они составляют возрастающую геометр. прогрессию. Найти эти три числа

Пусть три числа образуют арифметическую прогрессию и в сумме дают 18. Тогда их удобно записать так:

потому что сумма трёх членов арифметической прогрессии равна $3$ умножить на средний член, значит средний член равен

Теперь по условию к этим числам прибавляют соответственно $1,\;3,\;17$. Получаем:

По условию эти три новых числа составляют возрастающую геометрическую прогрессию. Для геометрической прогрессии выполняется свойство:

значит

Вычислим:

Переносим всё в одну сторону:

Умножим на $-1$, чтобы получить стандартный вид:

Решаем квадратное уравнение:

Два решения:

1. $\displaystyle d=\frac{-16+24}{2}=4$

2. $\displaystyle d=\frac{-16-24}{2}=-20$

Проверим оба с учётом слова возрастающая:

1) $d=4$

Исходные числа:

После прибавлений:

Это геометрическая прогрессия $3,9,27$ с знаменателем $3$, и она возрастающая.

2) $d=-20$

Исходные числа:

После прибавлений:

Получается $27,9,3$ — это геометрическая прогрессия, но убывающая, а не возрастающая.

Значит подходит только первый случай.

Ответ: $2,\; 6,\; 10$.