В избушке Бабы Яги на двери кладовой висит замок. Замок кодовый. Нужно набрать на замке девять разных цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) так, чтобы были верны получившиеся равенства. Известно только, где стоят цифры 1 и 3. Как расставить остальные?

На замке записана цепочка равенств вида

__ __ : _ = _ − _ = 3 + _ = 1 · _

(две черточки подряд — это двузначное число, одна — однозначное; цифры 1–9 используются по одному разу; места цифр 1 и 3 уже известны — они стоят в выражениях 3+_ и 1·_).

Обозначим общее значение всех этих выражений через X. Тогда сразу получаем:

1. 1 · _ = X
   Умножение на 1 ничего не меняет, значит последняя пустая клетка — это и есть X.
   То есть X — какая-то цифра от 2 до 9, но не 3 (и не 1, потому что 1 уже занята).

2. 3 + _ = X
   Отсюда пустая клетка равна X − 3.
   Значит X > 3, то есть X может быть 4, 5, 6, 7, 8 или 9.

3. _ − _ = X
   Разность двух однозначных цифр (причём разных и без 1 и 3) должна дать X. Максимальная возможная разность без цифры 1 — это 9 − 2 = 7 (потому что 9−1 нельзя, 1 уже занята).
   Значит X не может быть больше 7. Остаётся X ∈ {4,5,6,7}.

Проверим варианты:

• X = 6: разность должна быть 6. Самое естественное — 9−3, но 3 уже занята. Другие варианты типа 8−2 возможны, но тогда в 3+_ = 6 нужно поставить 3, а 3 уже фиксирована и повторять нельзя. Не подходит.

• X = 5: тогда в 3+_ = 5 надо поставить 2. Разность 5 можно сделать, например, 9−4 или 8−3 (второе нельзя из-за 3). Если взять 9−4, то остаётся для деления три цифры, и нужно двузначное число делить на однозначное, чтобы получилось 5. Из оставшихся цифр это не складывается без повторов.

• X = 4: тогда 3+_ = 4, значит нужно поставить 1, но 1 уже занята в последнем выражении. Нельзя.

• X = 7: тогда 3+_ = 7, значит пустая клетка — 4 (подходит, 4 ещё не использовали).
  Разность на 7 тогда должна быть 9−2 = 7 (отлично, и цифры разные, и 1 с 3 не трогаем).

Теперь осталось первое выражение: __ __ : _ = 7.
Из ещё не использованных цифр остаются 5, 6, 8. Нужно составить двузначное число из 5 и 6 и разделить на 8:

56 : 8 = 7 — ровно то, что нужно.

Итак, вся цепочка равенств получается:

56 : 8 = 9 − 2 = 3 + 4 = 1 · 7

Значит, остальные цифры расставляются так:
в делении — 56 и 8, в вычитании — 9 и 2, в сложении — 4, в умножении — 7.