Катер прошел 12 км по течению реки и 4 км против течения, затратив на весь путь 2 часа. Чему равна собственная скорость катера, если скорость течения равна 4 км/ч? (12/(х+4)) + (4/(х-4)) = 2, х — собственная скорость. Как решить уравнение дальше?

Для решения уравнения $\frac{12}{x+4} + \frac{4}{x-4} = 2$, где $x$ — собственная скорость катера, нужно выполнить несколько шагов:

1. Привести уравнение к общему знаменателю:

   В нашем уравнении два дробных выражения, и нужно привести их к общему знаменателю. Знаменатели $x+4$ и $x-4$ можно перемножить, получив общий знаменатель $(x+4)(x-4)$, который является разностью квадратов:

   $$(x+4)(x-4) = x^2 - 16$$

   Теперь можно переписать дроби с этим общим знаменателем:

   $$\frac{12}{x+4} = \frac{12(x-4)}{(x+4)(x-4)}, \quad \frac{4}{x-4} = \frac{4(x+4)}{(x+4)(x-4)}$$

2. Подставить в уравнение:

   Теперь у нас есть общее уравнение:

   $$\frac{12(x-4)}{x^2 - 16} + \frac{4(x+4)}{x^2 - 16} = 2$$

3. Привести числители:

   Приводим обе дроби с одинаковым знаменателем к одному числителю:

   $$\frac{12(x-4) + 4(x+4)}{x^2 - 16} = 2$$

   Раскроем скобки:

   $$12(x-4) = 12x - 48, \quad 4(x+4) = 4x + 16$$

   Тогда числитель:

   $$12x - 48 + 4x + 16 = 16x - 32$$

   Уравнение теперь выглядит так:

   $$\frac{16x - 32}{x^2 - 16} = 2$$

4. Умножить обе части на $x^2 - 16$:

   Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе стороны на $x^2 - 16$ (учитывая, что $x \neq \pm 4$):

   $$16x - 32 = 2(x^2 - 16)$$

5. Распределить и привести уравнение к стандартному виду:

   Раскроем скобки справа:

   $$16x - 32 = 2x^2 - 32$$

   Переносим все члены в одну сторону:

   $$2x^2 - 16x = 0$$

6. Решить квадратное уравнение:

   Выносим общий множитель $2x$:

   $$2x(x - 8) = 0$$

   Это уравнение имеет два решения:

   $$x = 0 \quad \text{или} \quad x = 8$$

   Но так как собственная скорость не может быть равна 0, правильное решение — $x = 8$.

Таким образом, собственная скорость катера равна 8 км/ч.