Помогите решить |2x + 8| - |x - 5| = 12

Решим уравнение

Нужно раскрыть модули по промежуткам, где выражения под знаком модуля меняют знак.

1. Найдём критические точки

Подмодульные выражения обращаются в ноль при:

• $2x+8=0 \Rightarrow x=-4$

• $x-5=0 \Rightarrow x=5$

Значит, рассматриваем три промежутка:

1. $x<-4$

2. $-4\le x<5$

3. $x\ge 5$

2. Рассмотрим каждый промежуток

Случай 1: $x<-4$

Тогда:

• $2x+8<0$, значит $|2x+8|=-(2x+8)=-2x-8$

• $x-5<0$, значит $|x-5|=-(x-5)=-x+5$

Подставляем в уравнение:

Проверяем условие $x<-4$: подходит.

Случай 2: $-4\le x<5$

Тогда:

• $2x+8\ge 0$, значит $|2x+8|=2x+8$

• $x-5<0$, значит $|x-5|=-(x-5)=-x+5$

Подставляем:

Проверяем условие $-4\le x<5$: подходит.

Случай 3: $x\ge 5$

Тогда:

• $2x+8>0$, значит $|2x+8|=2x+8$

• $x-5\ge 0$, значит $|x-5|=x-5$

Подставляем:

Но $x=-1$ не удовлетворяет условию $x\ge 5$, значит этот корень не подходит.

3. Ответ

Проверка:

• при $x=-25$:

• при $x=3$:

Оба корня верные.