1. В треугольнике ABC известно, что AC=5√2 см, угол B=45°, угол C=30°. Найдите сторону AB. 2. Одна сторона треугольника на 3 см меньше другой, а угол между ними равен 60°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 7. 3. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 4, 13, 15. 4. Стороны треугольника равны 4, 5, 7. Найдите медиану треугольника, проведённую к его меньшей стороне.

1. Найдём сторону AB.

В треугольнике известно:

Сторона $AC$ лежит напротив угла $B$, а сторона $AB$ лежит напротив угла $C$.

По теореме синусов:

Отсюда:

Подставим значения:

Тогда:

Ответ: $AB=5$ см.

2. Найдём периметр треугольника.

Пусть одна из двух сторон равна $x$ см, тогда другая равна $x+3$ см.

Угол между ними равен $60^\circ$, третья сторона равна 7 см.

По теореме косинусов:

Так как

получаем:

Раскроем скобки:

Разложим:

Так как длина стороны не может быть отрицательной, получаем:

Значит, две стороны равны 5 см и 8 см, а третья сторона равна 7 см.

Периметр:

Ответ: 20 см.

3. Найдём радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 4, 13, 15.

Сначала найдём полупериметр:

Площадь найдём по формуле Герона: