Найдите, сколько существует трехзначных чисел, которые содержат хотя бы одну цифру 7 и делятся на 9.

Рассмотрим трёхзначное число вида $abc$, где $a$ — сотни, $b$ — десятки, $c$ — единицы.

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Нужно найти трёхзначные числа, которые:

1. содержат хотя бы одну цифру 7;

2. делятся на 9.

Посчитаем по случаям.

1. Цифра 7 стоит в разряде сотен.

Число имеет вид $7bc$. Тогда сумма цифр равна:

Она должна делиться на 9, значит:

Отсюда:

Цифры $b$ и $c$ могут быть от 0 до 9. Подходящие суммы: $2$ и $11$.

Сумма $2$:

Это 3 варианта.

Сумма $11$:

Это 8 вариантов.

Итого:

2. Цифра 7 стоит в разряде десятков.

Число имеет вид $a7c$. Тогда:

должно делиться на 9, то есть:

Здесь $a$ — цифра сотен, поэтому $a$ может быть от 1 до 9, а $c$ — от 0 до 9.

Подходящие суммы снова $2$ и $11$.

Сумма $2$:

Это 2 варианта.

Сумма $11$:

Это 8 вариантов.

Итого:

3. Цифра 7 стоит в разряде единиц.

Аналогично предыдущему случаю, число имеет вид $ab7$. Нужно:

То есть:

Количество вариантов такое же, как во втором случае:

Теперь сложим:

Но некоторые числа мы посчитали дважды, если в них две цифры 7.

Проверим такие случаи.

Число вида $77c$:

Чтобы делилось на 9, нужно $c=4$. Получаем число 774.

Число вида $7b7$:

Подходит $b=4$. Получаем число 747.

Число вида $a77$:

Подходит $a=4$. Получаем число 477.

Таких чисел 3, и каждое было посчитано дважды, поэтому нужно вычесть 3:

Число 777 тоже содержит три семёрки, но

21 не делится на 9, значит 777 не подходит.

Ответ: 28.