Найти сумму чисел
2+22+222+...+222...2
                     n цифр      

Сумма имеет вид:

\[2+22+222+\ldots+\underbrace{222\ldots2}_{n\text{ цифр}}\]

Число, состоящее из \(k\) двоек, можно записать так:

\[2\cdot \frac{10^k-1}{9}\]

Тогда сумма равна:

\[S=\sum_{k=1}^{n}2\cdot \frac{10^k-1}{9}\]

Вынесем \(\frac{2}{9}\):

\[S=\frac{2}{9}\left((10+10^2+\ldots+10^n)-n\right)\]

Сумма геометрической прогрессии:

\[10+10^2+\ldots+10^n=\frac{10(10^n-1)}{9}\]

Значит,

\[S=\frac{2}{9}\left(\frac{10(10^n-1)}{9}-n\right)\]

Или в одной дроби:

\[S=\frac{2(10^{n+1}-10-9n)}{81}\]

0 0 Пожаловаться