1) По координатам точек А, В, С для указанных векторов найти: (а) модуль вектора а; (б) скалярное произведение векторов а, b; (в) проекцию вектора с на вектор d; (г) координаты точки М, делящей отрезок в отношении α/β. А(-2;-3;-4), В(2;-4;0), С(1;4;5), вектор а= 4 вектор АС-8 вектор ВС, вектор b=вектор с= вектор АС, вектор d= вектор ВС, I=АВ, α= 4, β=2 2) Вычислить производные: а) у= √18-√6х б) у= 7- 9х^2- 13х- 4х^3 в) у= (х^2-1)^3

1) Векторы

\(A(-2;-3;-4)\), \(B(2;-4;0)\), \(C(1;4;5)\).

Найдём основные векторы:

\[\vec{AC}=C-A=(3;7;9)\]

\[\vec{BC}=C-B=(-1;8;5)\]

Дано:

\[\vec a=4\vec{AC}-8\vec{BC}\]

\[\vec a=4(3;7;9)-8(-1;8;5)=(20;-36;-4)\]

а) Модуль вектора \(\vec a\):

\[|\vec a|=\sqrt{20^2+(-36)^2+(-4)^2}=\sqrt{1712}=4\sqrt{107}\]

б) Скалярное произведение \(\vec a\) и \(\vec b\), где \(\vec b=\vec{AC}\):

\[\vec a\cdot\vec b=20\cdot3+(-36)\cdot7+(-4)\cdot9=-228\]

в) Проекция \(\vec c\) на \(\vec d\), где \(\vec c=\vec{AC}\), \(\vec d=\vec{BC}\):

\[\vec c\cdot\vec d=3\cdot(-1)+7\cdot8+9\cdot5=98\]

\[|\vec d|=\sqrt{(-1)^2+8^2+5^2}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}\]

Скалярная проекция:

\[\operatorname{pr}_{\vec d}\vec c=\frac{98}{3\sqrt{10}}=\frac{49\sqrt{10}}{15}\]

г) Точка \(M\), если \(AM:MB=4:2\):

\[M=\frac{2A+4B}{6}\]

\[M\left(\frac{2}{3};-\frac{11}{3};-\frac{4}{3}\right)\]

2) Производные

а) Если \(y=\sqrt{18}-\sqrt{6x}\), то:

\[y'=-\frac{3}{\sqrt{6x}}\]

б) \(y=7-9x^2-13x-4x^3\)

\[y'=-18x-13-12x^2\]

в) \(y=(x^2-1)^3\)

\[y'=3(x^2-1)^2\cdot2x=6x(x^2-1)^2\]

0 0 Пожаловаться