4. В треугольнике ABC взяли точку м так, что луч Bм делит
углы ABC и AMC пополам. Докажите, что данный луч перпендику-
лярен AC.
СРОЧНО ДАЮ 20 БАЛЛОВ

Пусть луч \(BM\) делит пополам углы \(ABC\) и \(AMC\). Обозначим:

• \(\angle ABM = \angle MBC = x\);
• \(\angle AMB = \angle BMC = y\).

В треугольнике \(ABM\): \(\angle BAM = 180^\circ - x - y\).
В треугольнике \(BMC\): \(\angle BCM = 180^\circ - x - y\).
Значит, \(\angle BAM = \angle BCM = \alpha\).

В треугольнике \(AMC\): \(\angle AMC = 2y\), поэтому \(\angle MAC + \angle MCA = 180^\circ - 2y\).

Сумма углов треугольника \(ABC\):
\((\alpha + \angle MAC) + 2x + (\alpha + \angle MCA) = 180^\circ\).
Подставляем: \(2\alpha + (180^\circ - 2y) + 2x = 180^\circ\) \(\Rightarrow\) \(\alpha + x = y\).

В треугольнике \(ABM\) сумма углов: \(\alpha + x + y = 180^\circ\).
С учётом \(\alpha + x = y\) получаем \(y + y = 180^\circ\), то есть \(y = 90^\circ\).

Тогда \(\angle AMB = \angle BMC = 90^\circ\), и \(\angle AMC = 180^\circ\). Это означает, что точки \(A\), \(M\), \(C\) лежат на одной прямой, то есть \(M\) находится на стороне \(AC\).

Луч \(BM\) делит развёрнутый угол \(AMC\) пополам, следовательно, он перпендикулярен \(AC\).

0 0 Пожаловаться