Таблица 3×3 заполнена так, что произведение чисел в каждой строке отрицательно. Докажите, что хотя бы в одном столбце таблицы произведение чисел также отрицательно.

Рассмотрим произведение всех чисел в таблице.

С одной стороны, его можно найти как произведение произведений чисел в трёх строках. По условию каждое из этих трёх произведений отрицательно. Значит, произведение всех чисел равно произведению трёх отрицательных чисел, то есть оно отрицательно:

\[(-)\cdot(-)\cdot(-)=(-)\]

С другой стороны, это же произведение всех чисел можно найти как произведение произведений чисел в трёх столбцах.

Предположим, что во всех столбцах произведения положительные. Тогда произведение всех чисел было бы положительным:

\[(+)\cdot(+)\cdot(+)=(+)\]

Получилось противоречие: одно и то же произведение не может быть одновременно отрицательным и положительным.

Значит, хотя бы в одном столбце произведение чисел отрицательно.

0 0 Пожаловаться