Как построить касательную с помощью линейки?

Для окружности касательная в точке касания всегда перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку.

Пусть дана окружность с центром $O$, а касательная должна проходить через точку $A$ на окружности.

1. Проведите радиус $OA$.

2. Через точку $A$ постройте прямую, перпендикулярную $OA$.

3. Полученная прямая и будет касательной к окружности.

Важно: одной обычной линейкой без угольника, циркуля или заранее заданных перпендикулярных линий точно построить перпендикуляр в произвольной точке нельзя. Поэтому строгое геометрическое построение касательной обычно выполняют линейкой и циркулем либо линейкой с угольником.

Если касательную нужно провести из внешней точки $P$, а центр окружности известен, строят так:

1. Соединяют точки $O$ и $P$.

2. Находят середину отрезка $OP$.

3. Из этой середины проводят окружность радиусом, равным половине $OP$.

4. Точки её пересечения с исходной окружностью обозначают $A$ и $B$.

5. Прямые $PA$ и $PB$ будут касательными.

Причина в том, что углы $OAP$ и $OBP$ получаются прямыми, а значит радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны проведённым прямым.