Запись натурального числа состоит из пятнадцати единиц и пяти нулей. Может ли это число быть квадратом другого натурального числа?
Варианты ответа:
- не может;
- может;
- может, если последняя цифра 1;
- может, если последняя цифра 0.

Правильный ответ: не может.

Решение:

По условию запись натурального числа состоит из 15 единиц и 5 нулей. Нужно определить, может ли это число быть квадратом другого натурального числа.

Воспользуемся признаками делимости на 3 и на 9.

Сумма цифр данного числа равна:

Поскольку 15 делится на 3, но не делится на 9, то и само число делится на 3, но не делится на 9.

Предположим, что данное число является квадратом некоторого натурального числа $n$, то есть равно $n^2$.

Если $n^2$ делится на 3, то и само $n$ обязательно делится на 3. Следовательно, можно записать:

где $k$ — натуральное число.

Тогда:

Получается, что $n^2$ обязательно делится на 9.

Но наше исходное число на 9 не делится, поскольку сумма его цифр равна 15.

Мы получили противоречие. Значит, данное число не может быть квадратом натурального числа независимо от порядка расположения его цифр.

Ответ: первый вариант — не может.