В конус с образующей 6√6 и высотой 12 вписан куб. Найдите объём куба.

Найдём радиус основания конуса по теореме Пифагора:

\[R=\sqrt{(6\sqrt{6})^2-12^2}=\sqrt{216-144}=6\sqrt{2}.\]

Пусть ребро куба равно \(a\). На высоте \(a\) радиус сечения конуса равен

\[6\sqrt{2}\left(1-\frac{a}{12}\right).\]

Расстояние от центра верхней грани куба до её вершины равно \(\frac{a}{\sqrt{2}}\). Поэтому

\[\frac{a}{\sqrt{2}}=6\sqrt{2}\left(1-\frac{a}{12}\right).\]

Отсюда:

\[a=12-a,\]

\[2a=12,\]

\[a=6.\]

Тогда объём куба:

\[V=a^3=6^3=216.\]

Ответ: \(216\).

0 0 Пожаловаться