Клетчатая доска 100х100 разрезана на шестиклеточные «лесенки» и прямоугольники 2х1. Может ли оказаться, что «лесенок» ровно 333? («Лесенки» и прямоугольники могут быть повёрнуты как угодно)
Π- квадратики
Π
ΠΠ
ΠΠΠ

Нет, не может.

Раскрасим доску в шахматном порядке: клетки будут чёрными и белыми. На доске \(100\times100\) чёрных и белых клеток поровну.

Каждый прямоугольник \(2\times1\) закрывает одну чёрную и одну белую клетку, поэтому разности не создаёт.

Шестиклеточная «лесенка» закрывает клеток одного цвета на две больше, чем другого. При повороте разность может поменять знак, но каждая лесенка всё равно даёт разность \(2\) по модулю.

Чтобы на всей доске чёрных и белых клеток осталось поровну, число «лесенок» должно быть чётным: одни должны давать преимущество чёрных клеток, другие — белых. Число \(333\) нечётное, значит это невозможно.

0 0 Пожаловаться