Вася взял газетный лист. Он может проделывать следующую операцию: брать любой газетный кусок и разрывать его на 5 или на 9 кусков. Какие величины являются инвариантом процесса? Выберите все правильные варианты ответа.
Остаток от деления количества кусков на 2
Остаток от деления количества кусков на 3
Остаток от деления количества кусков на 4
Остаток от деления количества кусков на 5
Остаток от деления количества кусков на 8
Остаток от деления количества кусков на 9

Давайте внимательно разберём задачу и её решение.

У нас есть газетный лист, который Вася разрывает на 5 или на 9 кусков. Необходимо выяснить, какие величины (остатки от деления на различные числа) остаются неизменными в процессе разрыва.

Разбираем операцию:

• Каждый раз, когда Вася разрывает один кусок на 5 или на 9 кусков, количество кусков увеличивается. Например:
  • Если было $n$ кусков, и Вася разрывает один кусок на 5, то количество кусков станет $n - 1 + 5 = n + 4$.
  • Если Вася разрывает один кусок на 9, то количество кусков станет $n - 1 + 9 = n + 8$.

Таким образом, каждый раз количество кусков увеличивается на 4 или на 8.

Теперь давайте исследуем инварианты — величины, которые не изменяются на протяжении всего процесса.

1. Остаток от деления на 2:

   • При увеличении на 4 (остаток от деления на 2 не меняется), результат останется тем же.
   • При увеличении на 8 (также чётное число), остаток от деления на 2 тоже не изменится.
   • Значит, остаток от деления на 2 является инвариантом. Этот остаток всегда будет либо 0, либо 1, и он не изменится в процессе.

2. Остаток от деления на 3:

   • Если текущий остаток при делении на 3 равен, например, 0, то при увеличении на 4 (остаток от деления на 3 будет меняться), или на 8 (также изменит остаток от деления на 3).
   • Это значит, что остаток от деления на 3 не является инвариантом.

3. Остаток от деления на 4:

   • При увеличении на 4 (остаток от деления на 4 не меняется), результат останется тем же.
   • При увеличении на 8 (остаток от деления на 4 также не меняется), результат снова останется тем же.
   • Значит, остаток от деления на 4 является инвариантом.

4. Остаток от деления на 5:

   • При увеличении на 4 или 8 остаток от деления на 5 может измениться. Например, при увеличении на 4 остаток от деления на 5 может сдвигаться, и аналогично при увеличении на 8.
   • Значит, остаток от деления на 5 не является инвариантом.

5. Остаток от деления на 8:

   • При увеличении на 4 (остаток изменится), а при увеличении на 8 (остаток снова изменится).
   • Это значит, что остаток от деления на 8 не является инвариантом.

6. Остаток от деления на 9:

   • Увеличение на 4 или на 8 не сохраняет остаток от деления на 9, то есть остаток будет изменяться.
   • Следовательно, остаток от деления на 9 не является инвариантом.

Ответ:

Инвариантами процесса являются:

• Остаток от деления на 2
• Остаток от деления на 4

Остальные величины (остатки от деления на 3, 5, 8 и 9) изменяются и не являются инвариантами.