Периметр прямоугольника равен 32, а площадь 48. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

Чтобы найти меньшую сторону прямоугольника, нужно решить систему уравнений, используя данные о его периметре и площади.

1. Запишем формулы для периметра и площади прямоугольника:

   Периметр прямоугольника можно выразить как:

   $$P = 2(a + b)$$

   где $a$ — длина одной стороны, а $b$ — длина другой стороны.

   Площадь прямоугольника выражается формулой:

   $$S = a \cdot b$$

   где $a$ и $b$ — длины сторон прямоугольника.

2. Используем данные из задачи:

   Нам известно, что периметр равен 32, а площадь равна 48.

   Периметр:

   $$2(a + b) = 32$$

   Разделим обе части уравнения на 2:

   $$a + b = 16$$

   Площадь:

   $$a \cdot b = 48$$

3. Решим систему уравнений:

   У нас есть система:

   $$a + b = 16$$ $$a \cdot b = 48$$

   Чтобы решить эту систему, выразим одну из переменных через другую. Из первого уравнения выразим $b$:

   $$b = 16 - a$$

   Подставим это выражение во второе уравнение:

   $$a \cdot (16 - a) = 48$$

   Раскроем скобки:

   $$16a - a^2 = 48$$

   Переносим все в одну сторону:

   $$a^2 - 16a + 48 = 0$$

   Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта.

4. Решаем квадратное уравнение:

   В стандартной форме уравнение имеет вид:

   $$a^2 - 16a + 48 = 0$$

   Находим дискриминант:

   $$D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 256 - 192 = 64$$

   Теперь находим корни уравнения:

   $$a = \frac{-(-16) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{16 \pm 8}{2}$$

   Получаем два значения для $a$:

   $$a = \frac{16 + 8}{2} = 12 \quad \text{или} \quad a = \frac{16 - 8}{2} = 4$$

5. Находим меньшую сторону:

   Поскольку в задаче требуется найти меньшую сторону, то меньшая из найденных сторон — это 4.

Таким образом, меньшая сторона прямоугольника равна 4.