Решите уравнение: x³ - 3x + 2 = 0

Уравнение, которое нужно решить, выглядит так:

1. Попробуем найти рациональные корни с помощью теоремы о рациональных корнях

Теорема о рациональных корнях утверждает, что возможные рациональные корни данного уравнения могут быть из множества, состоящего из делителей свободного члена (в данном случае 2) и делителей старшего коэффициента (в данном случае 1).

Свободный член — 2, его делители: $\pm 1, \pm 2$.

Коэффициент при $x^3$ — 1, его делители: $\pm 1$.

Следовательно, возможные рациональные корни: $\pm 1, \pm 2$.

2. Проверим возможные корни

Теперь подставим возможные значения $x$ в уравнение и посмотрим, при каком значении $x$ уравнение выполняется.

Подставим $x = 1$:

Получили, что $x = 1$ — корень уравнения.

3. Разложим кубический многочлен

Теперь, зная, что $x = 1$ — корень, можем разделить исходное уравнение $x^3 - 3x + 2 = 0$ на $(x - 1)$ с помощью деления многочленов.

Выполним деление $x^3 - 3x + 2$ на $x - 1$ с помощью синтетического деления или обычного деления.

Результат деления:

4. Разложим квадратный многочлен

Теперь рассмотрим квадратный многочлен $x^2 + x - 2$. Попробуем его разложить на множители.

Нам нужно найти два числа, произведение которых равно $-2$, а сумма равна $1$. Такими числами являются $2$ и $-1$, так как $2 \cdot (-1) = -2$ и $2 + (-1) = 1$.

Следовательно, разложим квадратный многочлен:

5. Полное разложение

Теперь у нас есть полное разложение исходного кубического уравнения:

Или:

6. Найдем корни уравнения

Чтобы найти корни, приравняем каждое из множителей к нулю:

7. Ответ

Корни уравнения:

Таким образом, у уравнения $x^3 - 3x + 2 = 0$ есть два различных корня: $x = 1$ и $x = -2$, при этом $x = 1$ — корень кратности 2.