Решите уравнение: x³ + x² - 4x - 4 = 0.

Чтобы решить уравнение $x^3 + x^2 - 4x - 4 = 0$, воспользуемся методом выделения общего множителя или разбиения на множители.

1. Применение метода проб и подбора:

   Начнем с того, что попробуем подставить несколько целых значений для $x$, чтобы найти хотя бы один корень уравнения. Попробуем подставить значения $x = -2$, $x = -1$, $x = 1$, и $x = 2$.

   • Для $x = -2$:

     $$(-2)^3 + (-2)^2 - 4(-2) - 4 = -8 + 4 + 8 - 4 = 0$$

     Значит, $x = -2$ является корнем уравнения.

2. Разделение уравнения на множители:

   Так как $x = -2$ является корнем, можем разделить многочлен $x^3 + x^2 - 4x - 4$ на $x + 2$. Для этого используем деление многочленов. Разделим $x^3 + x^2 - 4x - 4$ на $x + 2$.

   Выполнив деление, получаем:

   $$\frac{x^3 + x^2 - 4x - 4}{x + 2} = x^2 - x - 2$$

   Таким образом, уравнение можно переписать как:

   $$(x + 2)(x^2 - x - 2) = 0$$

3. Решение квадратного уравнения:

   Теперь решим квадратное уравнение $x^2 - x - 2 = 0$. Для этого используем формулу для решения квадратных уравнений:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   где $a = 1$, $b = -1$, $c = -2$. Подставим значения:

   $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2}$$ $$x = \frac{1 \pm 3}{2}$$

   Таким образом, получаем два корня:

   $$x = \frac{1 + 3}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x = \frac{1 - 3}{2} = -1$$

4. Ответ:

   Итак, у нас есть три корня уравнения $x^3 + x^2 - 4x - 4 = 0$:

   $$x = -2, \, x = -1, \, x = 2$$

   Ответ: $x = -2, x = -1, x = 2$.