Решить уравнение: x³ + 2x² - 1 = 0

Для того чтобы решить уравнение $x^3 + 2x^2 - 1 = 0$, можно воспользоваться несколькими методами, включая нахождение корней с помощью теоремы Безу или численных методов. Рассмотрим шаги:

1. Попробуем подставить значения для $x$.

Для начала проверим несколько простых значений для $x$, чтобы увидеть, есть ли среди них корни.

• Подставим $x = 1$:

  $$1^3 + 2 \cdot 1^2 - 1 = 1 + 2 - 1 = 2 \quad (\text{не равно } 0)$$

  Таким образом, $x = 1$ не является корнем.

• Подставим $x = -1$:

  $$(-1)^3 + 2 \cdot (-1)^2 - 1 = -1 + 2 - 1 = 0$$

  Получаем 0, значит, $x = -1$ является корнем.

2. Разделим многочлен на $(x + 1)$.

Теперь, зная, что $x = -1$ является корнем, можно разделить исходное уравнение $x^3 + 2x^2 - 1 = 0$ на $(x + 1)$ с помощью деления многочленов. Получим частное от деления:

Для этого используем деление многочленов в столбик.

Результат деления:

Таким образом, у нас получается разложение:

3. Решим квадратное уравнение $x^2 + x - 1 = 0$.

Теперь нам нужно решить квадратное уравнение:

Для этого используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

где $a = 1$, $b = 1$, $c = -1$. Подставляем в формулу:

Таким образом, корни этого уравнения:

4. Итоговые решения.

Таким образом, у уравнения $x^3 + 2x^2 - 1 = 0$ три корня: