Решите уравнение: 1/(x-1) + 1/(x-4) = 1/(x-2) + 1/(x-3)

Ответы на вопрос

Отвечает Гончарова Даша.

Решим уравнение:

\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 4} = \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x - 3}

Сначала перенесём всё в одну сторону уравнения, чтобы получить ноль справа:

\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 4} - \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x - 3} = 0

Теперь упростим выражение. Объединим слагаемые по парам:

\left(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x - 2}\right) + \left(\frac{1}{x - 4} - \frac{1}{x - 3}\right) = 0

Рассчитаем каждую пару:

\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x - 2} = \frac{(x - 2) - (x - 1)}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{-1}{(x - 1)(x - 2)}

\frac{1}{x - 4} - \frac{1}{x - 3} = \frac{(x - 3) - (x - 4)}{(x - 4)(x - 3)} = \frac{1}{(x - 4)(x - 3)}

Теперь подставим это обратно:

-\frac{1}{(x - 1)(x - 2)} + \frac{1}{(x - 4)(x - 3)} = 0

\frac{1}{(x - 4)(x - 3)} = \frac{1}{(x - 1)(x - 2)}

Теперь можем приравнять знаменатели:

(x - 4)(x - 3) = (x - 1)(x - 2)

Левая часть:

(x - 4)(x - 3) = x^2 - 3x - 4x + 12 = x^2 - 7x + 12

Правая часть:

(x - 1)(x - 2) = x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2

Теперь составим уравнение:

x^2 - 7x + 12 = x^2 - 3x + 2

Вычтем правую часть из обеих сторон:

x^2 - 7x + 12 - x^2 + 3x - 2 = 0

Упростим:

-4x + 10 = 0

Решим это:

-4x = -10 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}

ОДЗ: знаменатели не должны быть равны нулю. То есть:

x \neq 1, 2, 3, 4

Ответы на вопрос