Решите уравнение |х-1| + |х+2| - |х-3| = 4

Для решения уравнения $|x - 1| + |x + 2| - |x - 3| = 4$ нужно учитывать, что модули зависят от знаков выражений внутри них. Таким образом, мы разобьем решение на несколько случаев, в зависимости от того, в каких интервалах находится $x$.

Шаг 1. Разбиение на интервалы

Модуль функции меняет знак в точках, где выражение внутри модуля равно нулю. В нашем случае это происходит в точках:

• $x = 1$ (для $|x - 1|$),

• $x = -2$ (для $|x + 2|$),

• $x = 3$ (для $|x - 3|$).

Таким образом, рассмотрим 4 интервала:

1. $x < -2$

2. $-2 \leq x < 1$

3. $1 \leq x < 3$

4. $x \geq 3$

Шаг 2. Решение на каждом интервале

Интервал 1: $x < -2$

На этом интервале все выражения внутри модулей отрицательны, поэтому можно избавиться от модулей следующим образом:

• $|x - 1| = -(x - 1) = -x + 1$,

• $|x + 2| = -(x + 2) = -x - 2$,

• $|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3$.

Подставляем эти выражения в уравнение:

Упростим:

Проверим, подходит ли это значение для интервала $x < -2$. Так как $x = -8$ лежит в этом интервале, решение $x = -8$ является правильным.

Интервал 2: $-2 \leq x < 1$

На этом интервале:

• $|x - 1| = -(x - 1) = -x + 1$,

• $|x + 2| = x + 2$,

• $|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3$.

Подставляем эти выражения в уравнение:

Упростим:

Но значение $x = 4$ не лежит в интервале $-2 \leq x < 1$, поэтому это решение не подходит.

Интервал 3: $1 \leq x < 3$

На этом интервале:

• $|x - 1| = x - 1$,

• $|x + 2| = x + 2$,

• $|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3$.

Подставляем эти выражения в уравнение:

Упростим: