от века, вековать, век доживать, бог сыну век не дал

Ключевое слово тут — «век» в старом, народном значении «жизнь, срок жизни», а не только «столетие». От этого и смыслы выражений:

1) «От века».
Значит «с давних пор, издавна, испокон веков». Часто употребляется о чем-то устойчивом, привычном: «В этой стороне от века хлеб растили». Оттенок книжно-разговорный/устаревающий.

2) «Вековать».
Глагол со значением «жить, проводить жизнь», нередко с примесью монотонности, нужды или безрадостного существования: «вековать в глуши», «векует в старом домике». По стилистике — просторечное/просторечно-поэтическое; нейтральное «жить» шире и без оценочного налёта. Возможна приставочная форма «провековать» — «прожить весь век»: «провековали вместе».

3) «Век доживать».
Буквально «доживать остаток жизни», обычно об очень пожилых людях или о последних годах: «старики век доживают у дочери». Оттенок печальный или смиренный; часто о тихом, скромном быте.

4) «Бог сыну век не дал».
Народная формула о ранней смерти: «сын прожил недолго, рано умер». Здесь «век» = «отмеренная свыше жизнь». Употребляется сочувственно, в контекстах утраты: «У Петровых горе — бог сыну век не дал».

Коротко: во всех выражениях «век» — это прежде всего «человеческая жизнь/срок жизни», отсюда «издавна» («от века»), «жить» («вековать»), «доживать остаток» («век доживать») и «не суждено было долго жить» («бог сыну век не дал»).