Почему сжатая пружина подбрасывает груз?

Коротко: пружина заранее хранит энергию упругой деформации. Когда её отпускают, эта энергия превращается в кинетическую энергию груза. Пока пружина распрямляется, она давит на груз силой больше его веса, разгоняет его вверх, а в момент, когда пружина достигает своей «естественной» длины и перестаёт давить, груз уже имеет ненулевую скорость — и по инерции улетает вверх.

Чуть подробнее по шагам:

1. Что «толкает» груз.
   Сжатая пружина действует на груз силой $F=kx$ (закон Гука), где $x$ — текущая величина сжатия, $k$ — жёсткость. Пока $kx>mg$ (вес груза), суммарная сила направлена вверх, значит ускорение вверх и скорость растёт.

2. Когда груз «отлипает».
   Пружина может только толкать, но не тянуть. Как только она распрямится до своей ненагруженной длины ($x=0$), контакт исчезает. К этому моменту груз уже разогнан вверх.

3. Откуда берётся энергия.
   В сжатой пружине запасена энергия

где $x_0$ — начальное сжатие относительно ненагруженной длины. При распрямлении часть этой энергии уходит на увеличение кинетической энергии груза, часть — на подъём в поле тяжести.

4. Скорость «на отрыве».
   Используя закон сохранения энергии от момента старта до момента отрыва ($x$ уменьшилось с $x_0$ до 0, груз поднялся на высоту $x_0$), получаем

Груз действительно «подпрыгнет», только если подкоренное выражение положительно, то есть

Если сжатие слишком маленькое, пружина лишь компенсирует вес и часть пути вверх, но скорости для отрыва не хватит — груз останется прижат к пружине.

5. Высота полёта.
   После отрыва действует только тяжесть, скорость убывает с ускорением $g$. Максимальная добавочная высота относительно точки отрыва:

6. Реальные поправки.
   В жизни часть энергии теряется на внутреннее трение в пружине, трение в направляющих, деформации площадок, сопротивление воздуха. Поэтому фактическая скорость отрыва и высота будут меньше идеальных. Кроме того, если груз изначально сжимал пружину своим весом (статическое провисание $\delta=mg/k$) и вы дополнительно сжали ещё на $X$, то в формулах берите $x_0=\delta+X$: именно столько пружина короче своей ненагруженной длины в момент отпуска.

Итого: пружина подбрасывает груз, потому что при распрямлении отдаёт запасённую упругую энергию, создавая на протяжении контакта подъёмную силу больше веса и сообщая грузу вверх направленный импульс.