Цилиндр, изготовленный из стали, имеет площадь основания 10 см². Какую площадь основания должен иметь гранитный цилиндр такой же высоты, чтобы давление, оказываемое цилиндрами на стол, было одинаковым? Плотность гранита 2600 кг/м³.

Для того чтобы давление, которое оказывают два цилиндра на стол, было одинаковым, нам нужно, чтобы сила, с которой оба цилиндра давят на стол, была одинаковой. Давление определяется как сила, деленная на площадь. Таким образом, при одинаковой высоте цилиндров нам нужно сравнить их массы, так как масса влияет на силу тяжести.

1. Площадь основания стального цилиндра равна 10 см², что составляет 10 × 10⁻⁴ м² = 1 × 10⁻³ м² (перевели в квадратные метры).

2. Масса стального цилиндра (для простоты примем его плотность 7850 кг/м³) пропорциональна его объему. Площадь основания цилиндра уже дана, а объем цилиндра можно выразить как:

   $$V_{\text{сталь}} = S_{\text{сталь}} \times h,$$

   где $S_{\text{сталь}}$ — площадь основания стального цилиндра, а $h$ — его высота.

3. Масса стального цилиндра:

   $$m_{\text{сталь}} = \rho_{\text{сталь}} \times V_{\text{сталь}} = \rho_{\text{сталь}} \times S_{\text{сталь}} \times h,$$

   где $\rho_{\text{сталь}}$ — плотность стали (приблизительно 7850 кг/м³).

4. Сила тяжести, которую оказывает стальной цилиндр, равна его массе, умноженной на ускорение свободного падения $g$:

   $$F_{\text{сталь}} = m_{\text{сталь}} \times g = \rho_{\text{сталь}} \times S_{\text{сталь}} \times h \times g.$$

5. Для гранитного цилиндра, чтобы давление было одинаковым, сила, с которой он будет давить на стол, должна быть такой же. Площадь его основания $S_{\text{гранит}}$ можно найти из уравнения для давления:

   $$F_{\text{гранит}} = m_{\text{гранит}} \times g = \rho_{\text{гранит}} \times S_{\text{гранит}} \times h \times g.$$

   Мы приравниваем силы $F_{\text{сталь}} = F_{\text{гранит}}$, так как давление должно быть одинаковым:

   $$\rho_{\text{сталь}} \times S_{\text{сталь}} \times h \times g = \rho_{\text{гранит}} \times S_{\text{гранит}} \times h \times g.$$

6. Упростив, получаем:

   $$\rho_{\text{сталь}} \times S_{\text{сталь}} = \rho_{\text{гранит}} \times S_{\text{гранит}}.$$

7. Теперь подставляем известные значения:

   $$7850 \times 1 \times 10^{-3} = 2600 \times S_{\text{гранит}}.$$

   Решив это уравнение для $S_{\text{гранит}}$, получаем:

   $$S_{\text{гранит}} = \frac{7850 \times 10^{-3}}{2600} = 3.02 \times 10^{-3} \, \text{м}^2 = 3.02 \, \text{см}^2.$$

Итак, площадь основания гранитного цилиндра должна составлять 3.02 см², чтобы давление, оказываемое обоими цилиндрами на стол, было одинаковым.