1) С космического корабля, движущегося к Земле со скоростью 0,4с, посылают два сигнала: световой

Ответы на вопрос

Отвечает Прус Виталий.

1) Сигналы с космического корабля

Дано:

Скорость корабля относительно Земли: $v = 0{,}4c$ (в сторону Земли)
Расстояние до Земли в момент отправки сигналов: $L = 12\,\text{Гм} = 12 \cdot 10^9\,\text{м}$
Сигналы отправляются одновременно из системы корабля
Рассматриваем движение в системе Земли

(а) Световой сигнал

Скорость света в системе Земли: $c$

В момент испускания свет стартует с расстояния 12 Гм от Земли. Движение корабля после испускания на скорость света не влияет (свет всегда движется со скоростью $c$ в вакууме относительно Земли).

Время прихода:

t_1 = \frac{L}{c} = \frac{12 \cdot 10^9}{3 \cdot 10^8} = 40\ \text{с}

(б) Пучок частиц

Скорость частиц дана относительно корабля:

u' = 0{,}8c

Корабль движется к Земле со скоростью $v = 0{,}4c$ . Тогда скорость частиц в системе Земли находится по релятивистскому сложению скоростей:

u = \frac{u' + v}{1 + \frac{u'v}{c^2}}

Подставим:

u = \frac{0{,}8c + 0{,}4c}{1 + 0{,}8 \cdot 0{,}4} = \frac{1{,}2c}{1{,}32} \approx 0{,}909c

Теперь время движения:

t_2 = \frac{12 \cdot 10^9}{0{,}909 \cdot 3 \cdot 10^8}

t_2 \approx \frac{12 \cdot 10^9}{2{,}727 \cdot 10^8} \approx 44\ \text{с}

(в) Сравнение

Световой сигнал: $40\ \text{с}$
Пучок частиц: $44\ \text{с}$

Вывод:
Световой сигнал придёт раньше.

Разница:

\Delta t = 44 - 40 = 4\ \text{с}

Ответ к задаче 1:

Световой сигнал будет принят на Земле примерно на 4 секунды раньше, чем пучок частиц.

2) Соударение двух частиц

Дано:

Начальное расстояние: $l = 10\,\text{м}$
Скорости частиц: $v = 0{,}6c$ каждая
Движутся навстречу друг другу
Нужно найти время в системе лаборатории (Земли)

Обозначим:

Первая частица: $x_1 = 0 + 0{,}6ct$
Вторая частица: $x_2 = 10 - 0{,}6ct$

Условие столкновения:

x_1 = x_2

0{,}6ct = 10 - 0{,}6ct

1{,}2ct = 10

t = \frac{10}{1{,}2c}

Подставим $c = 3 \cdot 10^8$ :

t = \frac{10}{3{,}6 \cdot 10^8} \approx 2{,}78 \cdot 10^{-8}\ \text{с}

Ответ к задаче 2:

Столкновение произойдёт через примерно

2{,}8 \cdot 10^{-8}\ \text{с}

по лабораторным часам.