Почему для чая есть чайник, для кофе есть кофейник, а для какао нет какаольника?

Короткий ответ: «какаольника» нет не потому, что какао «обижено», а из-за сочетания лингвистики и бытовой традиции. Слово «какао» плохо даёт производные с суффиксом -ник, а исторически для этого напитка существовал свой, другой термин — «шоколадник/шоколадница» (сосуд для горячего шоколада/какао). В повседневной жизни же какао варят в ковшике и наливают из чего угодно — отдельный «какаольник» просто не понадобился.

Чуть подробнее по пунктам:

1. Словообразование.
   «Чайник» = чай + -ник; «кофейник» идёт от прилагательного «кофейный» + -ник. А вот «какао» — несклоняемое заимствование с финальным гласным, у которого нет удобной основы для приставления -ник. Формы типа «какаольный» в современном языке не используются, поэтому и какаольник звучит как искусственная шутка, а не как нормальное слово.

2. Историческая посуда.
   В домах XIX–XX вв. закрепились отдельные предметы сервировки: чайник для чая, кофейник для кофе. Для шоколадного питья (а какао у нас культурно шло именно как «шоколадный напиток») был свой сосуд — высокий «шоколадник/шоколадница», нередко с отверстем в крышке под венчик для взбивания. Так что «специализированное» название уже существовало, просто по другому корню — не от «какао», а от «шоколад-».

3. Живая речь и быт.
   Какао у нас обычно варят на молоке в ковшике/небольшой кастрюле и подают прямо в кружках или из молочника. Ритуала отдельной подачи, как у чая и кофе, не сложилось — вместе с ним не закрепилось и отдельное слово. Редкие авторские варианты («какаоварка» и проч.) так и остались редкостями.

Итого: словообразовательная неудобность «какао» + историческое «шоколадник» + отсутствие устойчивого ритуала подачи = в языке не прижился «какаольник».