Как правильно: "кочерышка" или "кочерыжка"?

Правильный вариант — «кочерыжка».

Слово «кочерыжка» — это уменьшительно-ласкательная форма от «кочерыга» (центральная, плотная часть кочана капусты). Оно давно закрепилось в русском языке именно в таком написании — с «ы» после «р».

Форма «кочерышка» встречается в разговорной речи, но считается неправильной или, в лучшем случае, диалектной. В орфографических словарях русского литературного языка в качестве нормы зафиксировано написание «кочерыжка».

Пример употребления:

«Мама всегда отдавала мне кочерыжку — я её очень любил».

Итак, правильно писать и говорить: «кочерыжка».