Откуда произошло слово "здоровье"?

Коротко: «здоровье» — это отглагольное абстрактное существительное от прилагательного «здоровый» с суффиксом -ье: здоров(-) + ье → «состояние того, кто здоров».

Чуть подробней по истории слова:

• Базой служит древнее общеславянское корневое *zdrav- ‘целый, невредимый, крепкий’. Отсюда родня во всех славянских языках: рус. здоровый/здравый, польск. zdrowy, чеш. zdravý, серб. здрав и т. п.

• В русском сохранилась пара дублетов из разных традиций: народное здоро́вый и книжно-церковное здравый; соответственно, к ним относятся существительные здоро́вье и здра́вие (последнее сейчас архаично/книжно).

• От того же корня — приветствие «здравствуйте» буквально «будьте здравы (здоровы)» и глагол здравствовать ‘быть в добром здравии’.

Семантика исходно — «целость, невредимость, крепость», поэтому и переносные сочетания вроде «здравый смысл» = «здравый, т. е. неповреждённый, трезвый».