Окончание в слове "начались"

Окончание — -и.

Поясню. Начались — глагол прошедшего времени, множественное число, возвратный. В этой форме:

• -л- — суффикс прошедшего времени,

• -и — личное окончание (показатель множественного числа в прошедшем времени),

• -сь — постфикс возвратности (не окончание).

Хорошо видно по ряду форм: начался (нулевое окончание), началась (окончание -а), началось (окончание -о), начались (окончание -и).