Сколько звуков обозначает буква е в слове арена?

Один. В слове «арена» буква е стоит после согласной р, поэтому она обозначает один гласный звук [е] (в школьной записи часто [э]) и одновременно указывает на мягкость предыдущего согласного: [р] → [р’]. Два звука ([й] + [э]) буква е даёт только в начале слова, после гласных и после ъ/ь, а здесь этого нет.