безынициативный помощник, безыскрая сварка, безысходное положение, взыгравшее самолюбие, взыскательный художник, изысканная обстановка, межигровая тренировка, разыгранный жребий, уголовный розыск

Вот как пишутся и почему:

• безынициативный помощник — приставка без- перед гласной: пишем з и разделительное ы (после приставок на согласную перед и пишется ы): безы-…

• безыскровая сварка — правильно так (а не «безыскрая»): от искр-а → искров-ой; приставка без- перед гласной даёт з, ставим разделительное ы: безыскровая.

• безысходное положение — то же правило: без- + исход- → безысходное.

• взыгравшее самолюбие — приставка вз- перед гласной сохраняет з, ставим ы: взы-… (взыграло).

• взыскательный художник — нормативно взыскательный: вз- + иск-; перед гласной — з, разделительное ы.

• изысканная обстановка — из- + иск- → изы-…; полная форма прилагательного — с нн: изысканная.

• межигровая тренировка — после приставок меж-, сверх- перед и сохраняется и (не ы): межигровая.

• разыгранный жребий — в приставке раз-/роз- без ударения пишется а (раз-ы-), плюс суффикс причастия даёт -нн-: разыгранный.

• уголовный розыск — в раз-/роз- под ударением пишется о: ро́зыск → розыск.