Почему мы говорим "завтракаю", а не "сегодникаю"?

Коротко: потому что глагол «завтракаю» образован не от наречия «завтра», а от существительного «завтрак». А вот «сегодня» — это наречие и «еды с таким названием» у языка нет, поэтому и глагола «сегодникаю» не возникает.

Чуть подробнее:

• В русском глаголы типа «завтракать», «обедать», «ужинать», «полдничать» образуются от существительных, называющих приём пищи: завтрак → завтрака-ть → завтрака-ю, обед → обед-а-ть → обед-а-ю, ужин → ужин-а-ть → ужин-а-ю. Это стандартное словообразование: к основе существительного добавляется глагольный суффикс -а- (-ать).

• «Сегодня» — наречие времени, а не имя существительное. От наречий глаголы такого типа обычно не образуются. У нас нет нормального существительного «сегодник» (вроде «завтрак», «обед», «ужин»), поэтому и глагол «сегодникаю» языком не поддерживается.

• Исторически «завтрак» действительно связан с «утром»/«завтра»: это изначально «утренняя еда». Но в современном языке словообразовательная база глагола — именно существительное «завтрак», а не наречие «завтра».

Итого: «завтракаю» появляется из «завтрак» по обычной модели «приём пищи → действие», а «сегодникаю» не появляется, потому что «сегодня» — не название приёма пищи и не даёт подходящей основы для глагола.