Есть такое слово "взлюбить"?

Коротко: да, слово «взлюбить» существует.

Подробно:

• Значение. Совершенный вид от «любить» с приставкой «вз-»: ‘вдруг, неожиданно полюбить; проникнуться сильной симпатией’. Ближайшие синонимы: «полюбить», «прикипеть сердцем», «привязаться» (в результате), «расположиться к кому-то».

• Стиль и частотность. Слово живое, но редкое и книжно-разговорное, с лёгким оттенком устарелости. Чаще встречается в художественной речи, сказовом или разговорном стиле: «взлюбил он её…». В современной нейтральной речи обычно скажут «полюбил».

• Управление. Как и «полюбить», требует винительного падежа: «взлюбить кого? что?» — «взлюбил девушку», «взлюбила эту работу».

• Вид и формы. Совершенный вид (момент возникновения чувства). Настоящего времени не образует: взлюблю, взлюбишь — только в будущем; прошедшее: взлюбил, взлюбила; деепричастие: взлюбив. Причастие прошедшего: взлюбивший.
  Несовершенный коррелят встречается как редкое «взлюблять/взлюбливать» (в значении повторяемости/процесса), но в живой речи почти не нужен: обычно либо «любить», либо «полюбить/взлюбить».

• Семантические нюансы. Приставка «вз-» придаёт оттенок внезапности или вспышки чувства: «внезапно, ни с того ни с сего взлюбил». Поэтому у слова есть лёгкая экспрессия.

• Пара к противоположному чувству. Гораздо более частотное «невзлюбить» — ‘вдруг почувствовать неприязнь’. Этимологически оно играет ту же роль, только со знаком минус.

• Примеры употребления.
  — «Он с первого взгляда взлюбил щенка».
  — «Взлюбила деревню и не захотела обратно в город».
  — «Князь взлюбил молодца за удаль».

Итог: «взлюбить» — корректное, хоть и редковатое слово с оттенком книжности/устарелости, означающее внезапно полюбить кого-то или что-то.