Горе и гористый это однокоренные слова?

Нет, не однокоренные.

«Горе» относится к гнезду слов со значением печали: горе, горевать, горестный, горюниться, огорчение. Здесь корень связан со смыслом «печаль, страдание».

«Гористый» образовано от «гора» (гора → горный → гористый), то есть принадлежит другому гнезду: гора, горный, пригорок, нагорье, гористый. Здесь корень передаёт значение «возвышенность, гора».

Совпадение набора букв «гор-» — случай омонимии корней: написание одинаковое, но происхождение и смысловые гнёзда разные.