Как правильно: более шестиста тысяч или более шестисот тысяч

Правильно: «более шестисот тысяч».

Почему так: предлог «более» требует родительного падежа. Числительное шестьсот в родительном падеже даёт форму шестисот, а существительное тысяча — форму родительного множ. числа тысяч. Поэтому: более шестисот тысяч.

Форма «шестиста» — разговорная ошибка: у числительного шестьсот такой формы нет. Его нормы склонения:
именит. — шестьсот; родит. — шестисот; дат. — шестистам; винит. — шестьсот; твор. — шестьюстами; предл. — шестистах.