Слова, которые близки по смыслу и имеют общий корень, называются...

Однокоренными синонимами.

Это такие слова, которые выражают близкое (или почти одинаковое) значение и при этом имеют общий корень. Обычно они относятся к одной части речи и отличаются суффиксами/приставками, передающими оттенок смысла или степени признака.

Примеры:

• дом — домик — домище

• друг — дружок — друган

• лес — лесок

• тихий — тишайший (в разговорном употреблении может выступать как синонимичный усиленный вариант)

Важно не путать: «родственные (однокоренные) слова» могут вовсе не быть синонимами по смыслу (лес — лесник — лесной), а «синонимы» не обязаны иметь общий корень (красивый — прекрасный). Здесь спрашивают именно пересечение этих двух признаков — поэтому ответ: однокоренные синонимы.