Несколько успокоенный, я отправился к себе на квартиру. Зачем здесь нужна запятая?

Запятая нужна для обособления detached определения (причастного оборота) «несколько успокоенный», которое относится к личному местоимению «я» и стоит перед ним.

Правило такое: определения, выраженные причастием (или прилагательным) и относящиеся к личному местоимению, обычно обособляются, особенно когда стоят перед местоимением и имеют добавочный обстоятельственный оттенок (состояния/причины). По смыслу здесь: «Будучи несколько успокоен, я отправился…».

Поэтому пишем: «Несколько успокоенный, я отправился к себе на квартиру».
Возможны и другие корректные варианты с той же пунктуацией: «Я, несколько успокоенный, отправился…» или с деепричастием: «Несколько успокоившись, я отправился…»—всё равно нужна запятая.