Объясните следующие ошибки: расстилающИЕся, поднимИтся, таинствеНым, запахнувшесь, здАровУется, раСпрашивает, не опАздаем, прЕободрившись, пОпрежнему.

Как носитель, разберу по одному — что не так и как правильно.

• расстилающИЕся → расстилающийся / расстилающиеся
  Неправильное окончание. Действительное причастие наст. времени образуем от расстилаться (он расстилается) → расстилающийся (ед. ч.) / расстилающиеся (мн. ч.). И да, тут верно пишется расс- (удвоенное с от приставки рас- перед ст- корня).

• поднимИтся → поднимется
  Ошибка в личном окончании. Глагол подняться спрягается как 1-е спряжение: он поднимет → с постфиксом -ся: поднимется, а не поднимится.

• таинствеНым → таинственным
  Нужны две Н. Прилагательное таинственный имеет суффикс -енн-/-нн-, поэтому в форме тв. падежа ед. ч. муж./ср. рода: таинственным.

• запахнувшесь → запахнувшись
  В деепричастиях на -вшись/-шись постфикс возвратности — -сь — примыкает после -ш-: запахнувшись (поправив одежду «на запах»).

• здАровУется → здоровается
  Две ошибки в гласных. От здороваться: он здорОвается. Сохраняется суффикс -ва- и окончание -ется; никакого у здесь нет.

• раСпрашивает → расспрашивает
  Нужны две с: приставка рас- + корень, начинающийся на с- (спраш-) → расспрашивает (как и рассказать, расссыпать и т. п.).

• не опАздаем → не опоздаем
  Ошибка в корне. От опоздать: мы не опоздаем (буква о после з).

• прЕободрившись → приободрившись
  Приставка при- (значение «слегка, немного; довести до лучшего состояния»): приободрить(ся) → приободрившись, не пре-.

• пОпрежнему → по-прежнему
  Нужен дефис: наречие с приставкой по- и прилагательным в форме косвенного падежа пишется через дефис: по-прежнему. (Гласная о здесь как раз верная.)

Итого: исправленные формы — расстилающийся/расстилающиеся, поднимется, таинственным, запахнувшись, здоровается, расспрашивает, не опоздаем, приободрившись, по-прежнему.