1. Расставшись с Павлом, Тоня направилась домой. 2. Имя космонавта Леонова, вышедшего первым в открытый космос, известно не только в России. 3. Трагедии Шекспира, великого английского писателя, ставятся на сценах театров многих стран. 4. Охваченный охотничьим волнением, я побежал, держа ружьё наперевес, сквозь кустарник. 5. Деревня, раскинувшаяся на берегу реки, была нам знакома. 6. И день и ночь по снеговой пустыне спешу к вам, голову сломя. 7. В эту ночь почти никто из командиров не спал, несмотря на крайнюю усталость за минувший день. 8. Не располагая свободным временем, он вынужден был отказаться от участия в экскурсии. 9. Всё было понятно, как дважды два. 10. По природе стыдливая и робкая, она досадовала на свою застенчивость.

Нужно определить, в каких предложениях есть обособленные члены предложения (причастные, деепричастные обороты, уточнения, приложения и т.д.), а также понять, почему они выделяются. Разберём каждое по порядку:

1. Расставшись с Павлом, Тоня направилась домой.
Есть деепричастный оборот «Расставшись с Павлом». Он обозначает добавочное действие и обособляется запятой.
✅ Есть обособленный член.

2. Имя космонавта Леонова, вышедшего первым в открытый космос, известно не только в России.
Причастный оборот «вышедшего первым в открытый космос» относится к слову «Леонова» и обособляется запятыми.
✅ Есть обособленный член.

3. Трагедии Шекспира, великого английского писателя, ставятся на сценах театров многих стран.
Обособленное приложение «великого английского писателя», поясняющее слово «Шекспира».
✅ Есть обособленный член.

4. Охваченный охотничьим волнением, я побежал, держа ружьё наперевес, сквозь кустарник.
Два обособленных члена:
– причастный оборот «Охваченный охотничьим волнением»;
– деепричастный оборот «держа ружьё наперевес».
✅ Есть обособленные члены.

5. Деревня, раскинувшаяся на берегу реки, была нам знакома.
Причастный оборот «раскинувшаяся на берегу реки» обособлен.
✅ Есть обособленный член.

6. И день и ночь по снеговой пустыне спешу к вам, голову сломя.
Оборот «голову сломя» — деепричастный, обозначает добавочное действие.
✅ Есть обособленный член.

7. В эту ночь почти никто из командиров не спал, несмотря на крайнюю усталость за минувший день.
Оборот «несмотря на крайнюю усталость за минувший день» — это уступительное обстоятельство (предлог несмотря на), обособляется запятой.
✅ Есть обособленный член.

8. Не располагая свободным временем, он вынужден был отказаться от участия в экскурсии.
Деепричастный оборот «Не располагая свободным временем».
✅ Есть обособленный член.

9. Всё было понятно, как дважды два.
Сравнительный оборот «как дважды два» не обособляется, так как тесно связан по смыслу с сказуемым.
❌ Обособленных членов нет.

10. По природе стыдливая и робкая, она досадовала на свою застенчивость.
Обособленное обстоятельство, выраженное кратким описанием состояния («По природе стыдливая и робкая»).
✅ Есть обособленный член.

Итог:
Обособленные члены есть в предложениях 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10.
Без обособленных членов — только предложение 9.