Просклоняйте местоимение по падежам - со своей (судьбою).

Вот как склоняется местоимение «свой» (жен. род, ед. ч.) вместе с существительным «судьба». Сначала даю форму местоимения, затем — всю словосочетание:

• Именительный: своя — своя судьба.

• Родительный: своей — своей судьбы.

• Дательный: своей — своей судьбе.

• Винительный: свою — свою судьбу.

• Творительный: своей — со своей судьбой (возможен вариант судьбою: со своей судьбою).

• Предложный: своей — о своей судьбе.

В вашем исходном сочетании «со своей (судьбою)» дан творительный падеж; форма «судьбою» — допустимый вариант творительного («судьбой/судьбою»).