Ветер по морю гуляет и кораблик подгоняет: "по морю" пишется слитно или раздельно?

В данном случае "по морю" пишется раздельно.

Предлог "по" всегда пишется отдельно от существительного, с которым он употребляется. В данном контексте "по морю" обозначает движение по поверхности моря, и здесь "по" выполняет роль предлога, а "морю" — существительного в дательном падеже. Таким образом, правильное написание — раздельно.