Как правильно разобрать букву "е": "й" и "э" или просто "е"?

Коротко: буква е в фонетике передаёт либо два звука [й]+[э], либо один звук [э] (плюс мягкость предыдущего согласного). «Просто [е]» как звук в русском разборе не пишут.

Как понять, что именно ставить:

1. Начало слова / после гласной / после ь и ъ → два звука [й][э]
   ель → [йэ́ль]
   поезд → [по́йэзт]
   подъезд → [падйэст]
   вручную это часто пишут как [й’э] или [jэ].

2. После согласной → один звук [э], а согласный становится мягким
   лес → [л’эс]
   мел → [м’эл]
   Здесь е обозначает звук [э] и одновременно смягчает предыдущий согласный.

3. Исключения с твёрдыми шипящими и ц
   После ж, ш, ц мягкости обычно нет:
   жена → [жэна], шесть → [шэст’], цент → [цэнт].
   (После ч, щ мягкость есть всегда, так что е ничего «дополнительно» не меняет.)

Итого: в разборе пишем [й][э] в «йотированных» позициях (начало слова, после гласной, ь, ъ), а [э] — после согласной (с пометой о мягкости этого согласного, если она есть).